Faktoriyel işlemler hakkında bilgi verir misiniz?
Faktöriyel, matematikte, sağına ünlem işareti konulmuş sayıya verilen isim, daha genel olan Gamma Fonksiyonu’nun tam sayılarla sınırlanmış özel bir durumudur. Faktöriyel fonksiyonu verilen pozitif tamsayının kendisinden önceki bütün tamsayılarla 1’e inilinceye kadar çarpılması sonucunda elde edilen çarpımı gösterir.
Sıfır pozitif veya negatif bir sayı olmamasına rağmen faktöriyeli tanım olarak bire eşittir. 0!=1.
Faktöriyelleri içeren ifadeler birçok niceliğin seri açılımlarında, iki terimli teoremde, permütasyonlarda ve kombinasyonlarda, olasılık kuramında ortaya çıkar.
FAKTÖRİYEL İŞLEMİ
Faktöriyel, 1′ den n’ ye kadar olan doğal sayıların çarpımıdır. n, bir doğal sayı olmak üzere, n faktöriyel
n! = 1.2.3.4.5.6. … .(n-2).(n-1).n
veya
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). … .5.4.3.2.1
şeklinde tanımlanır.
0! ile 1! ‘ in 1 olduğu varsayılacaktır. Yani,
0! = 1 ve 1! = 1 dir.
1’ den büyük doğal sayıların faktöriyelleri ise şöyle hesaplanacaktır:
• 2! = 2.1 = 2
• 3! = 3.2.1 = 3.2! = 3.2 = 6
• 4! = 4.3.2.1 = 4.3! = 4.3.2! = 4.3.2 = 24
• 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3! = 5.4.6 = 20.6 = 120
• 6! = 6.5.4.3.2.1 = 6.5! = 6.120 = 720
• 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 7.6! = 7.720 = 5040
• n! = n.(n-1).(n-2).(n-3). … .3.2.1 = n.(n-1)! = n.(n-1).(n-2)!
• (2n)! = 2n.(2n-1)(2n-2). … .3.2.1 = 2n.(2n-1)! = 2n.(2n-1).(2n-2)!
• (3n)! = 3n.(3n-1).(3n-2). … .3.2.1 = 3n.(3n-1)! = 3n.(3n-1).(3n-2)!
• (n+1)! = (n+1).n.(n-1). … .3.2.1 = (n+1).n! = (n+1).n.(n-1)!
• (n-1)! = (n-1).(n-2).(n-3). … .3.2.1 = (n-1),(n-2)! = (n-1).(n-2).(n-3)!
Faktöriyelin Bazı Özellikleri:
1. n >= 2 olmak üzere, n! çift doğal sayıdır.
2. n >= 5 olmak üzere, n! sayısının son rakamı 0′ dır. Yani, n! sayısının sonunda genelde 5 asal çarpanlarının sayısı kadar 0 rakamı bulunur.
3. n! – 1 sayısının sonundaki 9 rakamlarının sayısı, n! sayısının sonundaki sıfır rakamlarının sayısı kadardır.
4. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı ise,
y! = an.x
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• y sayısı, a asal sayısına bölünür
• Ardışık bölme işlemine, bölme sıfır oluncaya kadar devam edilir ve bölümler toplanır.
5. x, y, n bir sayma sayısı olmak üzere, a bir asal sayı değilse,
y! = an.x
koşulunu sağlayan en büyük n değerini bulmak için
• Bu sayı asal çarpanlarına ayrılarak her asal sayı için aynı işlem yapılır
• Bulunan asal sayıların kuvvetleri uygun biçimde düzenlenir.
ÖRNEKLER:
Örnek 1: 6! + 5! işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: 6! + 5! = 6.5! + 5! = (6+1).5! = 7.5! = 7.120 = 840
Örnek 2: 37! sayısının sondan kaç tane basamağı sıfırdır?
Çözüm: 37! sayısının içinde bulunan 5 asal çarpanlarının sayısını bulmalıyız. Bu işlemi iki farklı yolla yapabiliriz.
Örnek 3: 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + … + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm:
20 = 5 . 4 tür. Dolayısıyla, 4 ve 5 çarpanını bulunduran her sayı 20 ile tam bölünür. Yani, 5! ve 5! den büyük sayıların toplamı 20 ile tam olarak bölünür. Bu takdirde, 0! + 1! + 2! + 3! + 4! toplamının 20 ile bölümünden kalanı bulursak, istenen toplamın 20 ile bölümünden kalanı bulmuş oluruz. Buna göre,
0! + 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1 + 2.1 + 3.2.1 + 4.3.2.1 = 1 + 1 + 2 + 6 + 24 = 34
34 ün 20 ye bölümünden kalan, 14 tür. O halde, 0! + 1! + 2! + 3! + … + 40! toplamının 20 ile bölümünden kalan 14 tür.
Örnek 4: 45! + 60! toplamının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözüm:
Küçük sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, toplamın sonunda da o kadar sıfır olacağından,
45 in 5 e bölünmesiyle, 45 = 5 . 9 + 0 ve 45 in 25 e bölünmesiyle 45 = 25 . 1 + 20 elde edilir. Dolayısıyla, 45! + 60! toplamının sonundaki sıfırların sayısı, bölümlerin toplamı olduğundan, 1 + 9 = 10 bulunur.
İkinci yol olarak, 45 = 5 . 9 + 0, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, sıfırların sayısı yine
1 + 9 = 10 olur.
Örnek 5: 48! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı vardır?
Çözüm:
48! in sonunda ne kadar sıfır varsa, o kadar 9 rakamı vardır. Dolayısıyla,
48 = 5 . 9 + 3, 9 = 5 . 1 + 4 olduğundan, 9 + 1 = 10 tane 9 rakamı vardır.
Örnek 6: x ve n sayma sayıları olmak üzere, 35! = 3n.x ise, n nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözüm:
n nin alabileceği en büyük değeri bulmak için 35! in içindeki 3 asal çarpanlaının sayısını bulmamız gerekir. Bu işlemi yaparsak, Ardışık bölme işlemleri sonucunda bölümler şöyle bulunur:
35 = 3 . 11 + 2, 11 = 3 . 3 + 2, 3 = 3 . 1 + 0
Dolayısıyla, n nin alabileceği en büyük değer, 11 + 3 + 1 = 15 olur.
Örnek 7 : n bir doğal sayı olmak üzere,
83! / 14n
işleminin sonucunun doğal sayı olması için, n’ nin en büyük değeri kaç olmalıdır?
Çözüm:
14 = 2 . 7 olduğu için, 83! in içerisinde kaç tane 7 çarpanı varsa, n’ nin en büyük değeri odur. Dolayısıyla,
83 = 7.11 + 6, 11 = 7.1 + 4 olduğundan, n’ nin alabileceği en büyük değer
11 + 1 = 12 olur.
Örnek 8: m ve n ardışık çift doğal sayılardır. m > n olmak üzere,
ise, n kaçtır?
Çözüm: m > n koşuluna göre, n = 2k ve m = 2k + 2 olsun.
Örnek 9: 1! + 2! + 3! + … + 843! toplamı hesaplandığında birler basamağındaki rakam kaç olur?
Çözüm:
Her terimi tek tek hesaplayalım.
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, …
5! ve 5! den büyük sayıların birler basamağı 0 olacağından, bunları göz önüne almaya gerek yoktur. Bu nedenle, 5! den önceki sayıların toplamını alıp 10′ a bölmeliyiz. Bu durumda, kalan birler basamağını verecektir.
1 + 2 + 6 + 24 = 33 olur ve Kalan 33 = 10.3 +3 bulunur.
Dolayısıyla, birler basamağı 3 tür.
Örnek 10: 8! + 9! + 10! toplamı aşağıdakilerden hangisine tam bölünemez?
a) 750 b) 625 c) 250 d) 125 e) 10
Çözüm:
8! + 9! + 10! = 8! . (1 + 9 + 10.9) = 8! . 100 =8! . 102 = 8! . (2.5)2 = 8! . 22 . 52
8! de 1 tane 5 olduğundan, tüm toplamda 3 tane 5 bulunmaktadır. Dolayısıyla, 625 = 54 olduğundan, toplam 625 ile bölünemez.
