Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı
Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin
de yazılamayan polinomlara indirgenemeyen polinomlar denir
Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar
Asal polinomlar denir
* P(x) = x2 + 4 , Q(x) = 3×2 + 1, R(x) = 2x – 3 , T(x) = – x + 7
Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır
P(x) = x2 + 4 baş katsayısı 1 olduğundan asal polinom dur
Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru
olan eşitliklere özdeşlik denir
* a) x3 (x2 – 2x) = x5 – 2×4 b) a2 (x + y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik
c) a2 (x +y)2 = a2 x2 + a2 y2 özdeşlik değildir
ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER
I) Tam Kare Özdeşliği:
I a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır
c) Üç Terim Toplamının Karesi:
(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir
II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :
a) İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin
cinin küpü biçimindedir Bu açılımlara Binom Açılımıda denir
Not: Paskal Üçgeni kullanılarak 4,5,6,Dereceden iki terimli
lerin özdeşliklerini de yazabiliriz
III) İki Kare Farkı Özdeşliği: (a + b) (a – b) = a2 – b2
İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile
ikincinin karesinin farkına eşittir
IV) xn + yn veya xn – yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :
i) İki küp Toplam veya Farkı : a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
ii) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)
a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)
iii) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)
a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)
iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)
v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)
Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz
1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy
2) x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy
4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy
5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)
6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)
7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)
1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların
çarpımı kaçtır?
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145
145 = (17)2 – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72
2) a – b = 6 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2 = 44
a b = 2 = ( 6 )2 + 42 (a + b) =
a + b = ? = 36 + 8 =
3) a – 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ? a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2 a2b
a b = 2 = ( 3 )2 + 2 2 2 = 17
4) a + b = 12 ise; a b = ? (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 4 ab = 108
a – b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27
5) ise; x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy
20
6) ise;
Ç = {- 4 , 4}
7) m + n =8 x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
m n = 1 m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)
m3 + n3 = ? = ( 8 )3 – 3 1 8 = 488
8) a3 – b3 = 50 x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
a – b = 2 ise; a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
a b = ? 50 = 8 + 6ab 6ab = 42 ab = 7
9) ise; x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
= ( 3 )3 + 31( 3 ) = 36
10) ise; x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)
198
11) a + b + c = ? a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)
ab + ac + bc = 12 = ( 7 )2 – 2 ( 12 )
a2 + b2 + c2 = ? = 49 – 24 = 25
12) ise;
= 15
13) ise; C = 120
14) ise; C = 63
15) ise; C = 154
16) ise; C = 75
17) ise; C = 999
ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI
1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :
Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır
Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır
1) Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız
a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)
c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)
e) 3ax + 3ay – 3az f) (a – b) x + 3 (a – b)
g) (m – n) – (a + b)(m – n) h) – a – b – x2 (a + b)
ı) x2(p – 3) + ma2 (3 – p) i) 1 – 2x + m (2x – 1)
2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :
Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,
üçer guruplandırılır Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır
2) a) mx + ny + my + nx b) xy – xb – yb + b2
c) x4 – 4 + 2×3 – 2x d) 2×2 –3x – 6xy + 9y
e) x3 – x + 1 – x2 f) x4 – x + x3 – 1
g) ab(c2 – d2) – cd (a2 – b2) h) ac2 + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b
ı) mn(zi + y2) + zy (m2 + n2) i) a2b2 + 1 – (a2 + b2)
3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
3) a) x2 + 4xb + 4b2 b) 4a2 + 12ab + 9b2 c) 4a2b2 – 4abc + c2
4) a) a2b + 8ab +16b3 b) 2m3 – 28m2 +98m c) 4x3y – 12x2y2 + 9xy3
4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu
Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır
a2 – b2 = (a + b) (a – b)
5) a) 25 – 9a2b2 b) x4 – 1 c) (m – n)2 – (m + n)2
6) a) 18×2 – 2y2 b) 2a2b3 – 32b c) 12x3y – 75xy5
7) a) 9a2 – 6a +1 – b2 b) x2 – 12x + 36 – 4y2 c)16m2 – n2 – 6n – 9
d)1 – x2 – 2xy – y2 e) m2 – n2 – 3m + 3n f) a2 – 25b2 – a + 5b
g) a2 – 4m2 – 12mn – 9n2 h) 9a2 –16m4 – 12axy + 4x2y2
5) İki Küp Toplamı – Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
8) a) a3 + 8 b) 8 – m3 c) x3 + 1 d) 27a3 – 64 e) x3a3 + b3
9) a) 81m3 – 3n3 b) 24x3y – 3y c) 2x + 54×4
10) a) (x +y)3 – 8 b) a3 + 8(a – b)3 c) (m – n)3 + 1
6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:
11) a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2×3 + 4×2 – 8x + 16)
d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)
7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:
Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare
ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir
12) 4×4 + 7×2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız
4×4 + 7×2 + 4 = 4×4 + 7×2 + 4 + x2 – x2 = 4×4 + 8×2 + 4– x2
= (2×2 + 2)2 – x2
2×2 2 = (2×2 + 2 – x) (2×2 + 2 + x)
22×22 = 8×2 = (2×2 – x + 2) (2×2 + x + 2)
13) x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini
ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız
x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)
14) a) m2 + 2m – 24 b) a4 + a2 + 1 c) 16a4 + 4a2b2 + b4
d) a2 – 6ab + 8b2 +2b – 1 (Not: b2 yi bir ekleyip – çıkar )
8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız
Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı
Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur
Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur
15)a) x2 + 5x + 6 b) x2 – 5x + 6 c) x2 + 7x + 6 d) x2 – 7x + 6
e) x2 + 5x – 6 f) x2 – 5x – 6 g) x2 + x – 6 h) x2 – x – 6
ı) x2 – 7x – 18 i) x4 – x2 – 30 k) m2 – 6m – 27 l) x2 – 3xy – 10y2
m) –x2 – 2x + 3 n) x2 – 13x + 30 o) x2 + 2y2– 3xy
9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)
mx p
nx q (mxq + nxq = bx oluyorsa)
16) 6×2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur
3x – 1 (3x 3 – 1 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)
2x + 3
17) a) 3×2 – 2x – 8 b) 3×2 – 7x + 2 c) 2m2 + 5mn – 12n2
d) 8a2 – 2ab – b e) 4×2 + 21x + 5 f) 36a2 – 33ab – 20b2
g) 4m2 + 11m – 3 h) 6a2 + 5a – 6 ı) 12a2 – 8ab – 15b2
i) 2m2 – 10m + 12 k) 3×2 + 3x – 18 l) 3 n2 + 30n + 48
18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?
c2 + 2ac + 2bc = 6 TTT
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)2 = 9 Ç = {-3, 3}
19) 91) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?
a) 16 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256
x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32
20) 97) , ise; a) 6 b) 8 c)10
a + b yerine ab yazılırsa
(a b)2 – 2ab – 24 = 0 olur a b = y diyelim
y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = – 4 ve y = 6
21) ise, C = 8
olur (özdeşlikte yerine yazalım )
22) ise; C = 36
olur (özdeşlikte yerine yazalım )
23) ise; C = 12
olur (yerine yazalım )
24) işleminin sonucu kaçtır?
123 =153 – 30 ve 183 =153 + 30 yazılırsa
=153 olur
