Son Haberler
Anasayfa / Egitim / Polinomlar Çözümlü Sorular

Polinomlar Çözümlü Sorular

Sponsorlu Bağlantılar

Polinomlar Çözümlü Sorular
ao, a1, a2 ……..an R ve n – N olmak üzere

P(x) = an xn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ….. + a1x + ao biçimindeki çok terimlilere polinom denir.
3×3 + 2×2 – 5x + 3 bir polinomdur.
2 x4 – 3×2 – 6x + 3 bir polinomdur.
–3 x2 + 5x – 1 polinom değildir.
x3 – x–2 + x + 4 polinom değildir.
Bir polinomun derecesi en büyük dereceli terimin derecesidir.
Örneğin x3 – 3×2 + 4 üçüncü dereceden bir polinomdur.
P(x,y) = x5 + x2y2+ x4y2 + y3 – x gibi iki bilinmeyenlerin üsleri toplamıdır.
Örneğin yukarıdaki polinomda x4y2 teriminin derecesi 4+2 = 6 dır.


Bir P(x) polinomunun derecesini d ( P(x) ) biçiminde göstereceğiz.
Örneğin, x4 – 2×3 + 5×2 + x + 3 ise
d ( P(x) ) = 4 dür.

İki polinomun eşitliği (denkliği):

O iki polinomun derecelerinin aynı ve aynı dereceden terimlerinin katsayılarının eşitliği ile tanımlanır.
P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Q(x) = 2×2 – 3x + 4
iken,
P(x) = Q(x) ise:
ax3 + bx2 + cx + d = 2×2 – 3x + 4 den
a = 0, b = 2, c = –2 ve d = 9 bulunur.

POLİNOMLARDA TOPLAMA – ÇIKARMA

Toplama ve çıkarma aynı dereceden terimlerin toplama veya çıkarılması ile yapılır.

ÖRNEK :
P(x) = 2×3 + 3×2 – 5x + 4
Q(x) = 5×2 + 6×2 + 5
ise P(x) + Q(x) ve P(x) – Q(x) ifadelerinin eşitlerini bulunuz?

Çözüm :
P(x)+Q(x) = (2×3 + 3×2 –5x + 4) + 5×3+6×2+5
= 7×3 + 9×2 – 5x + 9
P(x)-Q(x) = (2×3 = 3×2 – 5x+4) – (5×3+6×2+ 5)
= 2×3 + 3×2 – 5x + 4 – 5×3 – 6×2 – 5
= –3×3 – 3×2 – 5x – 1

POLİNOMLARDA ÇARPMA

a) Tek terimli bir polinomun çok terimli bir polinomla çarpımını yapmak için çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliği uygulanır.
Örneğin;
3×2(2×3 – 3×2 + 5x – 3) = 6×5 – 9×4 + 15×3 – 9×2 dir.

b) Çok terimlilerin çarpımında, birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimi ile ayrı ayrı çarpılır. Bunların toplamı alınır.
Polinomların çarpımında, çarpımın derecesi, çarpanların dereceleri toplamına eşittir.
d(P(x) . Q(x)) = d(P(x) + d(Q(x) ) dır.

ÖRNEK :
P(x) = x2 – 2x + 1
Q(x) = x3 – 3×2 ise P(x). Q(x) = ?

Çözüm :
P(x) . Q(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 – 3×2)
= x5 – 3×4 – 2×4 + 6×3 + x3– 3×2
= x5 – 5×4 = 7×3 , 3×2

ÖRNEK :
P(x) = x3 – 7x
Q(x) = x3 + 7x ise P(x) . Q(x) = ?

Çözüm :
P(x) . Q(x) = (x3 – 7x) . (x3 + 7x)
= x6 + 7×4 – 7×4 – 49×2
= x6 – 49×2

ÖRNEK :
P(x) = x12 + x3 + x2 + 2x + 1
Q(x) = xn + xn–1 + x
( P(x) . Q(x) ) ın derecesi 15 ise n kaçtır?

Çözüm :
d ( P(x) . Q(x) = d ( P(x) ) + d(Q(x)) olduğu için
15 = 12 + n  n = 3 tür.

ÖRNEK :

polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm :
n + 24 ve 8n doğal sayı olmalıdır. Buradan n = 2 ise
2+24 = 1 ve 82 = 4 bulunur.
O halde polinom
P(x) = 3x + 2×4 = 3×2 + 4 biçimindedir. Azalan kuvvetlere göre sıralanırsa
P(x) = 2×4 + 3×2 = 3x + 4 dür.
P(x) in derecesi 4 olarak bulunur.

Polinomlarda bazı özel çarpımlar vardır. Bunlara özdeşlikler de denir. Bu çarpımları ezbere bilmek gerekir. Bunları tersinden kullanarak çarpanlara ayırmaları yaparız.

ÖZDEŞLİKLER :

1) (x – y) (x + y) = x2 – y2
2) (x – y) (x2 + xy + y + y2
3) (x – y) (x3 + x2y + xy2 + y4) = x4 – y4
4) Genel olarak
(x–y) (xn–1 + xn–2y + xn–2 y2 +…+ xyn–2 + yn–1)=xn–yn dir.
5) x + y ≠ 0 koşulu ile
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = x + y
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(iki terimli toplamın karesi: birincinin karesi + birinci ile ikincinin çarpımının iki katı + ikincinin karesidir.)
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(İki terimin toplamının küpünü siz yukarıdaki gibi ifade edin.
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 dür.
Terimlerde xin üzeri bir azalırken y nin üzeri bir artarak sıra ile yazıldığına dikkat ediniz. Kat sayıları paskal üçgeninden bulunur.
Paskal üçgeni:

Örneğin (x + y)5 in açılımı istense 5. derece (6. sıra) karşısında bulunan sayılar sıra ile katsayı olarak alınırlar ve,
(x+y)5 = x5 + 5xy4 + 10x3Y2 + 10x2y3 = 5xy4 + y5 olarak bulunur.
6) x – y ≠ 0 için
(x – y)0 = 1
(x – y)1 = x – y
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

alıntı

Sponsorlu Bağlantılar
Aramalar
    /polinomlar çözümlü sorular

Hakkında Serkan

Cevapla

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Required fields are marked *

*

Şu HTML etiketlerini ve özelliklerini kullanabilirsiniz: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Scroll To Top