Fonksiyonlar konusunu bulabilir misiniz?

Fonksiyonlar konusunu bulabilir misiniz?
Matematikte, örneğin A kü­mesinden B kümesine tanımlanan bir bağıntı, A’nın her elemanını B’nin “bir ve yalnız bir” elemanıyla eşleştiriyorsa bir fonksiyondur. Bu tanım gereğince, aşağıdaki eşleme bir fonksiyonu belirtir:
Bu örnekte A’nın her elemanı B’nin yalnız bir elemanıyla eşleşmiştir. Bağıntı A küme­sinden B kümesine tanımlandığı için, B’nin elemanlarından a’nın hem x, hem y ile eşleş­miş olmasının da, b elemanının eşleşme dışı kalmasının da hiçbir önemi yoktur.
Buna karşılık, aşağıdaki bağıntıların ikisi de birer fonksiyonu belirtmez. Çünkü ilk örnekte A’nın z elemanı B’nin hiçbir elemanıy­la eşleşmemiş, ikinci örnekte ise hem b, hem c elemanlarıyla eşleşmişti

Fonksiyon tanımına uyan ilk örneğimize dönersek, böyle bir bağıntı “A kümesinden B kümesine tanımlanmış” ya da kısaca “A’dan B’ye” bir fonksiyon olarak adlandırılır ve /: A —» B biçiminde gösterilir. A bu / fonksi­yonunun tanım kümesi, B ise değer kümesindir. Bunlar da

A={x,y,z} ve B={a,b,c}

biçiminde yazılır. A’nın elemanlarının B’deki görüntü kümesi denir. Örneğimizdeki / fonksiyonunda jc’in ve v’nin görüntüleri a, z’nin görüntüsü de c’dir. Demek ki bu fonk­siyon

f={(x,a), (y,a), (z,c)}

biçiminde yazdabilir. A’nın/altındaki görün­tüsü ya da görüntü kümesi de

/ ( A ) = {a,c}

olur.
Ne var ki, fonksiyonun tanım ve değer kümeleri çok sayıda elemanı içerdiğinde bu küme gösterimlerinin pek kullanışlı olmaya­cağı açıktır. Nitekim matematikte kullanılan fonksiyonların çoğu gerçel sayılar kümesinde tanımlanmıştır; yani sonsuz elemanlı bir kü­meden gene kendi içine tanımlanmış fonk­siyonlardır. Dolayısıyla bu fonksiyonların an­latımında küme gösteriminden yararlanmak olanaksızdır. Bu güçlüğün üstesinden gelmek için değişkenler kullanılır. Değişkenlerin nasıl kullanıldığını açıklamak üzere, her tamsayıyı kendisinin iki katıyla eşleştiren bir fonksiyonu ele alalım. Tamsayılar kümesinin bütün ele­manlarını x harfiyle gösterirsek, bu sayıların iki katlarını da topluca 2x biçiminde yazabili­riz. Bu durumda, her tamsayıyı iki katıyla eşleştiren fonksiyon

/: x -> 2x

biçiminde gösterilebilir. Bu gösterimde x ba ğımsız değişkendir ve tanım kümesinin bütün elemanlarını temsil eder; 2x ise bu elemanla­rın görüntülerini belirtir. Bu fonksiyonun bir başka yazılış biçimi de

_y = 2x,tir.

Buradaki y’ye bağımlı değişken denir; çün­kü ancak x,in değişmesine bağlı olarak deği­şikliğe uğrayabilir. Bu nedenle matematikte fonksiyon, biri (bağımsız değişken) değiştiği zaman öbürü (bağımlı değişken) de değişen iki nicelik arasında kurulmuş bir bağıntı olarak tanımlanır.
Sözgelimi her sayıya 1 ekleneceğini belirten bir fonksiyon bu gösterimle

f:x—> x+1 ya da y = x+1

biçiminde yazılabilir. Bu iki fonksiyonu bir­likte kullanırsak, önce her sayının iki katının alınacağını, sonra her sayıya 1 ekleneceği­ni belirten başka bir fonksiyon elde ederiz. Bu da

/: x —* 2x+l ya da y = 2jc+1

olarak gösterilebilir.
Şimdi bu fonksiyonu {0,1,2,3} kümesinden tamsayılar kümesine tanımladığımızı varsaya­lım. Bu durumda

0->2×0+l = l
1^2×1+1=3
2^2×2+1=5
3-^2×3+1=7

eşlemelerini elde ederiz. Başka bir deyişle, {0,1,2,3} kümesinin bu fonksiyon altındaki görüntüsü olan {1,3,5,7} kümesine ulaşırız. İki katını alma ve 1 ekleme fonksiyonlarını işlemlerin sırasını değiştirerek birlikte kulla­nırsak, bu kez de

/: *-» 2(x+l) ya da y = 2(x+l)

biçiminde gösterebileceğimiz başka bir fonk­siyon ortaya çıkar. Bu fonksiyonun yapacağı eşlemeler

0-+ 2(0 + 1) = 21-> 2(1 + 1) = 42-> 2(2 + 1) = 6
3-> 2(3 + 1) = 8

biçiminde olacak, dolayısıyla {0,1,2,3} küme­sinin bu fonksiyon altındaki görüntüsü {2,4,6,8} kümesini verecektir. Ünlü Fransız düşünür ve bilim adamı Rene Descartes’ın analitik geo­metrisinden yararlanarak fonksiyonların gra­fiği çizilebilir. Yukarıda incelediğimiz dört fonksiyonun grafikleri şöyle olacaktır:

fonksiyon1ry2

Görüldüğü gibi bu grafiklerin hepsi birer doğrudur. Grafiği bir doğru olan fonksiyonla­ra doğrusal fonksiyon denir. Sayıların karesi­ni alma örneğinde olduğu gibi x2 değişkenini içeren fonksi­yonlara ise ikinci dereceden fonksiyon adı verilir.
Daha önce incelediğimiz iki katını alma fonksiyonunu tersine çevirirsek yarısını alma fonksiyonunu elde ederiz. Bu fonksiyon

/: x —* Vıx

biçiminde gösterilebilir. Sayıların değerini iki katına yükselten /: x —> 2x fonksiyonu ile değerlerini yarıya düşüren f:x^> Vıx fonk­siyonu birbirlerine göre ters fonksiyonlar”dır.
En çok kullanılan fonksiyonlardan biri, değişkenlerin kendi değerleriyle nasıl katla­narak büyüdüğünü gösteren üstel fonksiyon­laradır. Örneğin 23 yazdığımızda, 3 rakamı 2’nin “kuvveti” ya da “üssü”dür ve 2’nin kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösterir. Üs­tel fonksiyonların ne işe yaradığını görmek için ARİTMETİK maddesinde anlatılan “sat­ranç tahtasındaki pirinç taneleri” problemini anımsatmakta yarar vardır. Çinli bir matema­tikçi imparatorundan, satranç tahtasının her karesine bir önceki karedekinin iki katı kadar pirinç tanesi konulmasını ve kendisine ödül olarak bu pirinçlerin verilmesini ister. Satranç tahtasındaki herhangi bir karenin kaçıncı kare olduğunu gösteren sayıya x dersek, o kareye konması gereken pirinç tanelerinin sayısını veren fonksiyon

/: x -+ 2* ‘

biçiminde yazılır.
Belli bir zaman aralığında iki katına çıkan herhangi bir niceliği tanımlamak için de gene üstel fonksiyonlardan yararlanılır. Bileşik fa­izle yatırılan paranın artışını hesaplamak için bu fonksiyona başvurursak, “100 TL % 10 bileşik faizle x yıl sonra ne kadar olur?” sorusunun yanıtı
/: x -» 100(1 + l(/ıo())A
fonksiyonudur .