Hilbert’in Uçlar Aritmetiği Hakkında Bilgi
Alman matematikçi David Hilbert’in 1871’deki bir makalesinde incelemiş olduğu hiperbolik geometri’nin Poincaré modeli için verdiği cebirsel geometrik yapı Doğruların uçlarının oluşturduğu bir cisim ve bu cisim üzerinde tanımlı bir çarpımsal uzaklık fonksiyonu içeriyor Öklit geometrisine ters olarak, doğruların koordinatları ve noktaların denklemleri bulunuyor
Hiperbolik geometride her paralel ışın, hiperbolik düzlemin dışında bulunan bir noktada kesişir (bknz izdüşümsel geometri) Ayrıca her yakınsak paralel ışın sınır çember denilen ideal noktalarda kesişir Bu yüzden Hilbert, her ışının barındırdığı ideal noktaya “uç” terimini kullanarak her doğrunun tam iki uç ile tanımlanmasını sağlar Noktayı da bir doğru demeti denklemiyle elde eder
Bu şekilde yapılanmış cebirsel geometrinin üzerine bir hiperbolik analitik goemetri veya bir hiperbolik trigonometri inşa edilebilir Böylece geometrik her problem uçların üzerine tanımlı bir cisim ile cebirsel bir probleme indirgenmiş olur
Uçlarda Toplam
Öncelikle, toplama tanımında toplamın varlığını veren üç yansıma teoremini vermek gerekir
Sav (üç yansıma teoremi)
Ortak uçları ω olan üç tane m, n, p doğrusu verilsin Ucu ω olan öyle bir dördüncü r doğrusu vardır ki bu doğrudaki yansıma, diğer üç doğrunun yansımalarının çarpımına eşittir
σr = σmσnσp
ki burada σd, d doğrusundaki yansımayı ifade eder
Şimdi buna dayanarak bir toplama tanımı verilebilir Eğer yukarıdaki savda p = α, n=0 ve m = β alınırsa r = α + β olarak tanımlanabilir:
σα + β = σβσ0σα
ki burada herhangi bir α için, σα o ucun (\alpha,\infty) doğrusundaki yansımasını ifade eder
Hilbert’in uçlar artimetiğinde toplama tanımı
Tanım
\infty ucundan farklı herhangi iki α, β uçları ve (0,\infty) doğrusundaki bir C noktası verilsin A noktası, C ‘nin (\alpha, \infty) doğrusuna olan yansıması ve B noktası da C ‘nin (\beta, \infty) doğrusuna olan yansıması olsun O halde α + β toplamı, \infty ucundan farklı AB doğrusuna dik gelen kenarortay olarak tanımlanır
Toplama, iyi tanımlıdır ve (H,+) kümesini birim öğesi 0 olan Abelci bir öbek yapar Eğer H’=H \cup \infty kümesi tanımlanırsa, her uç düzlemdeki yakınsak paralel ışınların bir denklik sınıfı olduğundan, bu küme düzlemdeki tüm uçların kümesi olacaktır Bu kümedeki her iki uç bir doğruyu temsil ettiğinden, toplama için birim öğe niyetine bir doğruyu sabitleyip onu (0,\infty) uçlarına eşleyebiliriz
Uçlarda Çarpma
Çarpmayı tanımlamak için öncelikle (0,\infty) doğrusuna O noktasında dik, birim öğe niyetine bir doğru çekilebilir Bu doğrunun bir ucuna 1 ve diğer ucuna da -1 denir Bu şekilde (0,\infty) doğrusunu A ve B noktalarında dik kesen doğruların uçları çarpımı; Öklitçi doğru parçaları cinsinden
OA+OB=OC
eşitliğini sağlayan C noktasındaki dikmenin ucu olarak tanımlanır Bu tanım aslında, paralel doğruların orijinle olan Öklitçi uzaklıklarının toplamı kadar uzaklıktaki paraleli üretmek sezgisidir Daha matematiksel olarak,
Tanım
(0,\infty) doğrusunu dik açıda A ve B noktalarında kesen (α, − α) ile (β, − β) doğruları için yine o doğruyu C noktasında kesen (αβ, − αβ) doğrusu; A’ noktası Anın bakışığı olmak üzere,
BA’=OC
eşliğini sağlayan doğrudur
Bu tanımın, (H,\cdot) kümesini birim öğesi 1 olan değişmeli bir öbek yaptığı kanıtlanabilir Artık bu iki işlemle birlikte (H, +,\cdot) kümesi, birimleri 1 ve 0 olan değişmeli bir cisim olur
Kaynakça [değiştir]
