Karmaşık Sayılar konu anlatımı
KARMAŞIK(KOMPLEKS) SAYILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 Þ x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız…
1. TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
( i = Ö-1 Þ i² = -1 dir.)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
Z2 = 2 – 3i Þ Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = Ö3 + i Þ Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Þ Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Þ Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.
Örnek:
x² – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
Δ = b² – 4ac = ( -2) ² – 4.1.5 = -16 = 16.i²
X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
2a 2.1 2
Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.
2. İ ‘NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, …
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, – i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.
Buna göre , n Î N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir.
Örnek:
( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1
i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i
i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = – 1 dir.
C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.
Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 Þ a = 5
2b + 3 = a + b Þ 2b + 3 = 5 + b Þ b = 2 dir.
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a – 2 = 0 Þ a =2,
a + b + 3 = 0 Þ 2 + b + 3 = 0 Þ b = -5 tir.
O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.
D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 – 3i,
_
2) Z2 = Ö2 – Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = Ö3 – Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 – Ö2 dir.
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.
Çözüm:
_
3 . Z – 1 = 2(4 – i)
3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.
3a – 1 = 8 Þ 3a = 9 Þ a = 3 ve
-3b = -2 Þ b = 2/3 tür.
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__ 1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
.
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.
E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama – Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Þ
Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )
Örnek:
Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i
Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i
2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 . Z2 = ( a + bi ).( c + di)
= a.c + a.di + bi.c + b.di2 , ( i2 = -1 )
= ac – bd + ( ad + bc )i
Z1 . Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 . Z1 = ( a + bi).( a – bi ) Þ Z1 . Z1 = a2 + b2 dir.
Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun.
1. Z1 . Z2
_
b) Z1 . Z1
c) (Z2)2 işlemlerini yapalım.
Çözüm:
a) Z1 . Z2 =( 2 – i ) .( 3 + 2i)
= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2.( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir.
b) Z1 . Z1 = ( 2 – i ).( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir.
c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 2.3.2i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir.
Örnek:
( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2.( -1 ).i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25.i = 32.i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210.i2 = -210
3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır.
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun.
Z1 a + bi ( a + bi ).( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾
Z2 c + di ( c + di ).( c – di ) c2 + d2
Örnek:
Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun.
Z1 4 – 3i ( 4 – 3i ).( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = 2 + i dir.
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i ).( 1 + 2i ) 12 + 22 5
Not:
1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,
1 1 a – bi
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ dir.
Z a + bi a2 + b2
_ _
2) Z1 . Z2 Z1 . Z2
¾¾¾¾ = ¾¾¾¾
Z3 z3
Örnek:
3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım.
Çözüm:
3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,
1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir.
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25
Örnek:
1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 – i 1 + i
Çözüm:
1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i ).( 1 +i ) ( 1 – 2i ).( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i – 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2
( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0.i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir.
2. 2
Örnek:
1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım.
1 + i
Çözüm:
1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 – i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir.
1 + i 12 + 12 2 1 + i
F. KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ
GÖRÜNTÜSÜ
1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir.
2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır.
3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür.
Örnek:
Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,
1. Karmaşık düzlemde
2. Vektör uzayında gösterelim.
Çözüm:
1) imajiner eksen 2)
Z = 1 + 2i
2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)
0 ree eksen 0
1 1
G. BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y
noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi
½z½
mutlak değeri ( modülü ) denir ve ½Z½ şeklinde gösterilir. x
a
Z = a + bi Þ ½Z½= Ö a2 + b2 dir.
Örnek:
Z = 5 + 12i
karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
12 Z = 5 + 12i
Z = 5 + 12i Þ ½Z½
½Z½ = Ö 52 + 122
= 13 tür. 0
5
Örnek:
Z = ( a + 2 ) + 3i
½Z½ = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözüm:
____________
½Z½= 5 Þ Ö( a + 2 )2 + 32 = 5 Þ ( a + 2 )2 + 32 = 52 Þ ( a + 2 )2 = 16
olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür.
a + 2 = 4 Þ a = 2 veya
a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür.
a + 2 = -4 Þ a = -6 dır.
H. MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
_ _ _
1) ½Z½= ½-Z½=½ Z½=½-Z½=½i.Z½=½-i.Z½=…
2) ½Z1.Z2½= ½Z1½.½Z2½
3) Z1 ½Z1½
¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)
Z2 ½Z2½
4) ½Zn½ = ½Z½n
_
5) Z . Z = ½Z½2
6) ½½Z1½ – ½Z2½½ < ½Z1 ± Z2½ < ½Z1½ + ½Z2½
Örnek:
3 – 3i
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ½Z½ = ?
1 + i
Çözüm:
3 – 3i sayısının mutlak değeri, Ö 32 + 32 = 3Ö2 dir.
1 + i sayısının mutlak değeri, Ö12 + 12 = Ö2 dir. O halde,
½3 – 3i½ 3Ö2
½Z½ = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür.
½1 + i½ Ö2
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere,
Z1 = 2 + ni
Z2 = 1 + 2i
_______
½Z1 + Z2½ = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?
Çözüm:
Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,
______
Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir.
½Z1 + Z2½ = 5 Þ Ö 32 + (n + 2)2 = 5 Þ 32 + (n + 2)2 = 52 Þ (n + 2)2 = 42 olduğundan,
n + 2 = 4 Þ n = 2 veya
n + 2 = -4 Þ n = -6 dır. n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2.(-6) = -12 dir.
Örnek:
i2 = -1 olmak üzere ,
1 – xi
Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, ½Z10½=?
1 + xi
Çözüm:
½Z10½ = ½Z½10 dur.
1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan ½1 – xi½ = ½1 + xi½ dir. Buna göre,
½1 – xi½
½Z½ = ¾¾¾ = 1 ve ½Z½10 =110 = 1 dir.
½1 + xi½
1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir. Yani,
½Z1 – Z2½ = Ö(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir.
2) ½Z – Z0½ = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir. Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir.
Örnek:
A = Z : ½Z – 4 – 3i½ = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim.
Çözüm:
Z = x + yi olsun, y
½Z – 4 – 3i½ = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4
3
½ x + yi – 4 – 3i½= 2
Ö (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x
4
(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur.
Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir
SORULAR
1) i = Ö-1 olmak üzere
Ö-2 . Ö-8 + 1
¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun.
Ö(-3)2
Çözüm:
Ö-2 . Ö-8 + 1 Ö-1. Ö2. Ö-1.Ö8 + 1 i. Ö2.i.2Ö2 + 1 4.i2 + 1 -4 + 1
¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir.
Ö(-3)2 ½-3½ 3 3 3
2) i = Ö-1 olmak üzere,
i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun.
Çözüm:
i37 = (i4)9.i1 = 19.i = i ,
i-5 = i-5+8 = i3 = -i,
i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2.(-i) – i = 2i
3) i2 = -1 olmak üzere,
2×2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?
x3 + 1
Çözüm:
2×2 – 2x + 2
f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,
x3 + 1
2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )
f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir.
i3 + 1 1 – i ( 1 – i ) ( 1 + i ) 2
4) i2 = -1 olmak üzere,
1 1
¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun.
2 – i 2 + i
Çözüm:
1 1 2 + i + 2 – i 4
¾¾ + ¾¾ =.¾¾¾¾¾ = ¾ tir.
2 – i 2 + i 22 + 12 5
( 2 + i ) (2 – i)
5) x < 0 olmak üzere,
Z = Ö -x2 + 2x –1 + ½-x½+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?
Çözüm:
Z = Ö -x2 + 2x –1 + ½-x½+ 2x
Z = Ö -1.(x –1)2 – x + 2x, (x < 0)
Z = Ö-1 . ½x – 1½ + x
Z = x + (1 – x)i bulunur.
Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir.
Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1
6) i = Ö-1 olmak üzere,
Z1 = a + i
Z2 = 2 – i
______
½Z1 – Z2½ = 2 olduğuna göre a = ?
Çözüm:
Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i
______
Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i
______
½Z1 – Z2½= 2 Þ Ö(a – 2)2 + (-2)2 = 2 Þ (a – 2)2 + (-2)2 = 22 Þ (a – 2) 2 = 0 Þ a = 2
7) i = Ö-1
i + 1
¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?
Z
Çözüm:
i + 1 1 + i 2i
¾¾¾ = 1 – i Þ Z = ¾¾ Þ Z = ¾ Þ Z = i .
Z 1 – i 2
(1 + i)
Z2003 = i2003 = i3 = – i
8) Z = x + yi olmak üzere,
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i olduğuna göre, ½Z½ = ?
Çözüm:
_
(i – 1).Z +i.Z = 2 – 3i Þ (i – 1)(x – yi) + (x + yi) = 2 – 3i Þ xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i
Þ -x + (2x + y)i = 2 – 3i
-x = 2 Þ x = -2 ve 2x + y = -3 Þ -4 + y = -3 Þ y = 1
Þ Z = -2 + i ve ½Z½ = Ö5
9) i = Ö-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
_
2.½Z½ Z + Z
¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?
Z – Z i
Çözüm:
_
Z = x + yi Þ Z = x – yi
_ _
Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi
½Z½2 = ( Ö x2 + y2 )2 = x2 + y2
ve Re(Z) – İm(z) = x – y .
_
2.½Z½ Z + Z 2.½Z½ 2x
¾¾¾¾ = ¾¾¾ Þ ¾¾¾¾ = ¾¾ Þ (x + y)2 = 0 Þ x – y = 0
Z – Z i Z – Z i
10) i = Ö-1 ve Z = x + yi olmak üzere,
½Z – 3i½ < ½Z + 3½ olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x
Çözüm:
½Z – 3i½ < ½Z + 3½
½x + yi – 3i½ < ½x + yi + 3½
½x + (y – 3)i½ < ½(x + 3) + yi½
Öx2 + (y – 3)2 < Ö (x + 3)2 + y2
x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2
x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2
-6y < 6x y > -x
